Simulazione SIR come Catena di Markov a Tempo Discreto

Progetto per il corso di Modelli Probabilistici (A.A. 2025/2026, Università di Bologna).

Il repository contiene l'implementazione, la validazione statistica e i deliverable teorici per la simulazione stocastica del modello epidemiologico SIR (Susceptible-Infectious-Removed) su popolazione finita $N$, formalizzato come Catena di Markov a Tempo Discreto (DTMC) omogenea a stati finiti.

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1. Il Modello Stocastico

Il processo a tempo discreto $(X_t)_{t \in \mathbb{N}_0}$ traccia lo stato della popolazione $X_t = (S_t, I_t, R_t)$ sullo spazio degli stati invariante:

$$E = { (s, i, r) \in \mathbb{N}_0^3 : s + i + r = N }, \quad |E| = \binom{N+2}{2} = \frac{(N+1)(N+2)}{2}$$

Ad ogni passo temporale $t \to t+1$, le transizioni sono determinate da due variabili binomiali condizionatamente indipendenti:

$$C_t \mid X_t \sim \text{Bin}\left(S_t, \frac{\beta I_t}{N}\right) \quad \text{(nuovi contagi)}$$

$$G_t \mid X_t \sim \text{Bin}\left(I_t, \gamma\right) \quad \text{(nuove guarigioni)}$$

L'aggiornamento dello stato è dato da:

$$\begin{cases} S_{t+1} = S_t - C_t \\ I_{t+1} = I_t + C_t - G_t \\ R_{t+1} = R_t + G_t \end{cases}$$

Tutti gli stati con $I=0$ formano la classe assorbente $\mathcal{A}$. Il tempo di estinzione $\tau = \inf{t \ge 0 : I_t = 0}$ è quasi certamente finito ($\mathbb{P}(\tau < \infty) = 1$).

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2. Risultati Principali

• Limite Fluido (Teorema di Kurtz, 1970): Per $N \to \infty$, la frazione normalizzata $X_t / N$ converge quasi certamente alla soluzione del sistema differenziale continuo di Kermack-McKendrick.
• Effetti di Taglia Finita: A popolazione finita ($N=100$), la desincronizzazione temporale delle traiettorie stocastiche produce un picco medio campionario ($\approx 16.4%$) inferiore al picco deterministico continuo ($\approx 18.3%$).
• Soglia Critica $R_0$: La transizione di fase avviene a $R_0 = \beta / \gamma = 1$. Per $R_0 > 1$, la frazione finale asintotica $r_\infty$ soddisfa l'equazione trascendente $1 - r_\infty - s_0 e^{-R_0 r_\infty} = 0$.

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3. Installazione e Avvio Rapido

Il codice richiede Python 3.10+ con le librerie scientifiche specificate in requirements.txt (numpy, scipy, matplotlib, pytest).

# Setup ambiente
git clone https://github.com/FrancescoCastaldi/sir-markov-chain.git
cd sir-markov-chain

python -m venv .venv
source .venv/bin/activate   # Su Windows: .venv\Scripts\Activate.ps1

pip install -r requirements.txt

Simulazioni da Riga di Comando

# Simulazione Monte Carlo benchmark (M=1000 traiettorie, seed 42)
python src/simulation.py --n 100 --i0 5 --beta 0.20 --gamma 0.10 --sims 1000 --seed 42

# Analisi di sensibilità su molteplici valori di R0
python src/sensitivity.py --sims 500 --seed 42

Esecuzione Test Unitari

python -m pytest tests/ -v

La suite verifica formalmente:

1. Conservazione della popolazione ($S_t + I_t + R_t = N$ per ogni $t$).
2. Stocasticità per righe della matrice di transizione ($\sum_j P_{ij} = 1$).
3. Stabilità e assorbimento degli stati con $I=0$.
4. Monotonicità del compartimento rimosso ($R_{t+1} \ge R_t$).

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4. Struttura del Progetto

sir-markov-chain/
├── src/                      # Moduli Python (modello Markov, simulatore, ODE, plotting)
│   ├── model.py              # Definizione catena e matrice di transizione P
│   ├── simulation.py         # Motore Monte Carlo e interfaccia CLI
│   ├── analysis.py           # Statistiche, First-Step analysis e solutore ODE
│   ├── sensitivity.py        # Studio parametrico su R0
│   └── plotting.py           # Routine di visualizzazione (Matplotlib)
├── tests/                    # Test di unità e verifica invarianti (pytest)
│   └── test_model.py         # 16 test formali su invarianti stocastici
├── report/                   # Presentazione LaTeX Beamer
│   ├── presentazione.tex     # Sorgente slide Beamer (16:9)
│   └── presentazione.pdf     # Slide compilate
├── docs/                     # Dashboard Web distribuita su GitHub Pages
├── notebooks/                # Jupyter notebook per simulazioni ed esplorazione
└── img/                      # Grafici e figure scientifiche ad alta risoluzione

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5. Deliverable

• Presentazione Beamer (27 Slide): report/presentazione.pdf
• Dashboard Web & Playground Interattivo: GitHub Pages

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Licenza

Distribuito sotto licenza MIT.